Inleiding

Er zijn vele stellingen (beweringen/ vermoeden) in de wiskunde die nog geen bewijs hebben (of tegenvoorbeeld). Zo'n te bewijzen stelling wordt vaak een vermoeden genoemd. Er zijn er heel veel die heel simpel te formuleren zijn en waarvan je je nauwelijks kunt voorstellen dat er geen bewijs voor is. Hieronder zie je er een aantal.

Dagelijks zijn er duizenden wiskundigen bezig met dit soort problemen.
Het Clay Mathematics Institute heeft zelfs zeven wiskundige problemen gesteld en er een prijs gekoppeld van 1 miljoen dollar aan degene die één van deze zeven problemen oplost. Dus probeer er één te bewijzen en je bent in één klap miljonair!
Dit instituut heeft dit gedaan naar aanleiding van de 23 open problemen die de wiskundige David Hilbert in 1900 aan collega wiskundige stelde.

Aangezien deze zeven problemen erg moeilijk te begrijpen zijn, heb ik hieronder een aantal andere problemen geformuleerd waarvan ook geen bewijs bestaat op het moment van dit schrijven.

Priemparen

Een priempaar is een paar van getallen (p, p+2) met de eigenschap dat beide getallen priemgetallen (alleen deelbaar door 1 of zichzelf) zijn. Eenvoudige voorbeelden zijn: (3,5), (17, 19), enz.

De bewering 'Zijn er oneindig veel priemparen' is nog nooit bewezen of weerlegd.

Begin juni 2004 leek het erop dat deze bewering bewezen was. De publicatie van Richard Arenstorf waarin hij deze bewering bewees is teruggetrokken omdat het een fout bevatte.

Het grootste priempaar op dit moment (augustus 2004) is een getal van ruim 50.000 cijfers: (33218925.2169690-1, 33218925.2169690+1).

Priemgetallen

Er zijn oneindig veel priemgetallen van de vorm n2 + 1, waarbij n een natuurlijk getal is.

Tot op de dag van vandaag is hier noch een bewijs voor gevonden, noch een tegenvoorbeeld.

Mersenne priemgetallen

Mersenne priemgetallen zijn priemgetallen van de vorm 2p-1, met p ook een priemgetal.

De bewering 'Er zijn oneindig veel Mersenne priemgetallen' is nog onbewezen.

Er worden met behulp van computers steeds grotere Mersenne priemgetallen gevonden. Op het internet kun je als je wilt meedoen met die zoektocht door je computer mee te laten rekenen (GIMPS: the Great Internet Mersenne Prime Search).

Het grootste Mersenne priemgetal op dit moment (augustus 2004) is een getal van ruim 7 miljoen cijfers: 224036583-1.

Het vermoeden van Goldbach: Som van twee priemgetallen

De bewering 'Elk even natuurlijk getal groter dan twee is de som van twee priemgetallen' is ook een open probleem.

Er zijn heel veel voorbeelden: 4= 2 + 2, 12 = 5 + 7, 10000 = 59 + 9941, enz.
Van sommige even getallen is het zelfs zo dat hij op meerder manieren als som van twee priemen te schrijven is.

Deze bewering stamt uit de tijd van Euler. In 1747 communiceerden Golbach en Euler met elkaar over dit probleem. En na ruim 250 jaren is er nog steeds geen bewijs gevonden of tegenvoorbeeld.